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LeetCode-679. 24 点游戏

US-B.Ralph
US-B.Ralph
2020-08-22

问题地址

LeetCode每日一题/2020-08-22

LeetCode679. 24 点游戏


问题描述

规则

你有 4 张写有 1 到 9 数字的牌。你需要判断是否能通过 *,/,+,-,(,) 的运算得到 24。

示例1

输入: [4, 1, 8, 7]
输出: True
解释: (8-4) * (7-1) = 24

示例2

输入: [1, 2, 1, 2]
输出: False

注意

  • 除法运算符 / 表示实数除法,而不是整数除法。例如 4 / (1 – 2/3) = 12 。
  • 每个运算符对两个数进行运算。特别是我们不能用 – 作为一元运算符。例如,[1, 1, 1, 1] 作为输入时,表达式 -1 – 1 – 1 – 1 是不允许的。
  • 你不能将数字连接在一起。例如,输入为 [1, 2, 1, 2] 时,不能写成 12 + 12 。

解析

解题思路

根据题目要求,需要计算除法,需要用浮点数,故首先需要将int类型转为double类型;
1. 从转换好的数字中取出两个不同的数分别做四则运算得到结果a;
2. 使用上一步的计算结果a与第三个数做四则运算得到结果b;
3. 使用上一步的计算结果b与第四个数做四则运算得到结果c;
4. 判断结果c是否符合要求;
5. 每次从剩余数中取两个数,进行四则运算,将结果放回原有数字集合中,再次进行递归处理,直到最后剩余一个数字。

复杂度分析

  1. 时间复杂度,O(1)
    • 第一次从四个数中取出2个不同的数,共有A(4,2)=\frac{4!}{(4-2)!}=4×3=12种方法;
    • 第二次从三个数种取出2个不同的数,共有A(3,2)=\frac{3!}{(3-2)!}=3×2=6种方法;
    • 第三次从两个数种取出2个不同的数,共有A(2,2)=\frac{2!}{(2-2)!}=2×1=2种方法;
    • 以上每两个数需做四则运算,故共有n=12×4×6×4×2×4种计算方法。
  2. 空间复杂度,O(1),一共有四个数,递归调用的层数最多为 4,存储中间状态的列表中最多包含 4 个元素,因此空间复杂度为常数。

定位问题

  1. 只需要找出2个数,四则运算结果为24即可;
  2. 需要主要浮点运算的精度问题;
  3. $+或×$,符合交换定律,可做判断避免重复计算;

数据操作分析

  1. 将int类型转为double类型;
  2. 从四个数中取出两个数做四则运算将得到的结果替换这两个数;
  3. 从三个数中取出两个数做四则运算将得到的结果替换这两个数;
  4. 将这两个数做四则运算并查验是等于24;

编码实现

/**
 * LeetCode679
 */
public class LeetCode0679_24Game {

    static final int TARGET_NUM = 24;
    static final double ERROR = 1e-6;


    public boolean judgePoint24(int[] nums) {

        List<Double> list = new ArrayList<>();
        for (int num : nums
        ) {
            list.add((double) num);
        }
        return travelsAll(list);

    }

    private boolean travelsAll(List<Double> list) {
        int size = list.size();
        if (size == 0) return false;
        if (size == 1) return (Math.abs(TARGET_NUM - Math.abs(list.get(0))) < ERROR);

        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = 0; j < size; j++) {
                if (i == j) continue;

                List<Double> list2 = new ArrayList<>();
                for (int k = 0; k < size; k++) {
                    if (k == i || k == j) continue;
                    list2.add(list.get(k));
                }

                //群举所有运算方式
                for (int k = 0; k < 4; k++) {
                    if (k < 2 && i > j) continue;//交换法则
                    if (k == 0) list2.add(list.get(i) + list.get(j));//+
                    if (k == 1) list2.add(list.get(i) * list.get(j));//*
                    if (k == 2) list2.add(list.get(i) - list.get(j));//-
                    if (k == 3) {
                        if (Math.abs(list.get(j)) < ERROR) {//0不能做被除数
                            continue;
                        } else {
                            list2.add(list.get(i) / list.get(j));
                        }
                    }

                    if (travelsAll(list2)) return true;
                    list2.remove(list2.size() - 1);

                }
            }
        }

        return false;
    }
}

官方解法

  1. 回溯
  • 思路:
    一共有 4 个数和 4 个运算操作,因此可能性非常有限。一共有多少种可能性呢?

    • 首先从 4 个数字中有序地选出 2 个数字,共有 4×3=12 种选法,并选择加、减、乘、除 4 种运算操作之一,用得到的结果取代选出的 2 个数字,剩下 3 个数字。
    • 然后在剩下的 3 个数字中有序地选出 2 个数字,共有 3×2=6 种选法,并选择 4 种运算操作之一,用得到的结果取代选出的 2 个数字,剩下 2 个数字。
    • 最后剩下 2 个数字,有 2 种不同的顺序,并选择 4 种运算操作之一。
    • 因此,一共有 12×4×6×4×2×4=9216 种不同的可能性。
    • 可以通过回溯的方法遍历所有不同的可能性。具体做法是,使用一个列表存储目前的全部数字,每次从列表中选出 2 个数字,再选择一种运算操作,用计算得到的结果取代选出的 2 个数字,这样列表中的数字就减少了 1 个。重复上述步骤,直到列表中只剩下 1 个数字,这个数字就是一种可能性的结果,如果结果等于 24,则说明可以通过运算得到 24。如果所有的可能性的结果都不等于 24,则说明无法通过运算得到 24
    • 实现时,有一些细节需要注意。
      • 除法运算为实数除法,因此结果为浮点数,列表中存储的数字也都是浮点数。在判断结果是否等于 24 时应考虑精度误差,这道题中,误差小于 10^{−6} 可以认为是相等。
      • 进行除法运算时,除数不能为 0,如果遇到除数为 0 的情况,则这种可能性可以直接排除。由于列表中存储的数字是浮点数,因此判断除数是否为 0 时应考虑精度误差,这道题中,当一个数字的绝对值小于 10^{−6} 时,可以认为该数字等于 0
      • 还有一个可以优化的点。加法和乘法都满足交换律,因此如果选择的运算操作是加法或乘法,则对于选出的 2 个数字不需要考虑不同的顺序,在遇到第二种顺序时可以不进行运算,直接跳过。
  • 复杂度分析:
    • 时间复杂度:O(1)。一共有 9216 种可能性,对于每种可能性,各项操作的时间复杂度都是 O(1),因此总时间复杂度是 O(1)

    • 空间复杂度:O(1)。空间复杂度取决于递归调用层数与存储中间状态的列表,因为一共有 4 个数,所以递归调用的层数最多为 4,存储中间状态的列表最多包含 4 个元素,因此空间复杂度为常数。

class Solution {
    static final int TARGET = 24;
    static final double EPSILON = 1e-6;
    static final int ADD = 0, MULTIPLY = 1, SUBTRACT = 2, DIVIDE = 3;

    public boolean judgePoint24(int[] nums) {
        List<Double> list = new ArrayList<Double>();
        for (int num : nums) {
            list.add((double) num);
        }
        return solve(list);
    }

    public boolean solve(List<Double> list) {
        if (list.size() == 0) {
            return false;
        }
        if (list.size() == 1) {
            return Math.abs(list.get(0) - TARGET) < EPSILON;
        }
        int size = list.size();
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = 0; j < size; j++) {
                if (i != j) {
                    List<Double> list2 = new ArrayList<Double>();
                    for (int k = 0; k < size; k++) {
                        if (k != i && k != j) {
                            list2.add(list.get(k));
                        }
                    }
                    for (int k = 0; k < 4; k++) {
                        if (k < 2 && i > j) {
                            continue;
                        }
                        if (k == ADD) {
                            list2.add(list.get(i) + list.get(j));
                        } else if (k == MULTIPLY) {
                            list2.add(list.get(i) * list.get(j));
                        } else if (k == SUBTRACT) {
                            list2.add(list.get(i) - list.get(j));
                        } else if (k == DIVIDE) {
                            if (Math.abs(list.get(j)) < EPSILON) {
                                continue;
                            } else {
                                list2.add(list.get(i) / list.get(j));
                            }
                        }
                        if (solve(list2)) {
                            return true;
                        }
                        list2.remove(list2.size() - 1);
                    }
                }
            }
        }
        return false;
    }
}
US-B.Ralph
LeetCode数据结构与算法算法

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